Сделаем замену переменной y=x-2 так, чтобы предел брался при стремлении переменной к нулю. Имеем:
lim_y->0 (sqrt(y+3)-sqrt(3))/(sqrt(3y+4)-2)
Далее вынесем числа за корень, чтобы внутри корня осталась единица:
Получим в числителе
sqrt(3)*sqrt(y/3+1) - sqrt(3)
в знаменателе
2*sqrt(3y/4+1) - 2
разложим в ряд Тейлора до первого члена:
Числитель: sqrt(3)* (1+y/6+o(y)-1)
Знаменатель: 2* (1+3y/8+o(y) -1)
после сокращений получим ответ 2*sqrt(3)/9