<А в трегольнике АВС равен 40°,<В=20°. Если АВ-ВС=4, то найди длину биссектрисы <С?

Угол С равен 180 - 40 - 20 = 120°.
Выразим сторону ВС за х, а сторону АВ за х + 4 (по условию задачи).
По теореме синусов:
$\frac{AB}{sin120^o} = \frac{BC}{sin40^o}$ .
sin120° = 0.866025,
sin 40° =   0.642788.
Тогда $\frac{x+4}{0,866025} = \frac{x}{0,642788}$ .
Используем свойство пропорции:
(х + 4) / х = 0.866025 / 0.642788 = 1.347296.
Отсюда х = 4 /  (1.347296 - 1) = 11.51754 (это сторона ВС).
Сторона АВ равна 11.51754 + 4 = 15.51754.

Далее по двум сторонам и углу между ними по теореме косинусов находим сторону АС:
$b= \sqrt{a^2+c^2+2ac*cosB}$ .
Подставив значения, получаем АС = в = 6.128356.

Имея длины всех сторон треугольника, находим длину биссектрисы угла С:
$\beta c= \frac{2}{a+b} \sqrt{a*b*p*(p-c)}$
Подставляем данные:
  a b   c   p   2p
11.517541 6.1283555   15.517541   16.581719 33.16343748
и получаем:   βа      βв   βс
                   8.2567 13.0208 4.
Ответ: длина биссектрисы из угла С равна 4.