Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Question 1

Решите уравнение $sin ^{2} \frac{x}{2} -cos ^{2} \frac{x}{2} =cos2x$
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[- \frac{ \pi }{2}; \pi )$

Question 2

$\sin ^{2} \frac{x}{2} -\cos ^{2} \frac{x}{2} =\cos2x \\\ -(\cos ^{2} \frac{x}{2} -\sin ^{2} \frac{x}{2})=\cos2x \\\ -\cos (2\cdot \frac{x}{2} )=\cos2x \\\ -\cos x=2\cos^2x-1 \\\ 2\cos^2x+\cos x-1=0 \\\ D=1^2-4\cdot2\cdot*=(-1)=1+8=9 \\\ \cos x= \frac{-1-3}{4} =-1; \ x= \pi +2 \pi n, \ n\in Z \\\ \cos x= \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2} ; \ x=\pm \frac{ \pi }{3} +2 \pi n, \ n\in Z$

Рассматриваем первую серию корней:
$- \frac{ \pi }{2} \leq \pi +2 \pi n\ \textless \ \pi \\\ - \frac{ 1 }{2} \leq 1+2 n\ \textless \ 1 \\\ - \frac{ 3 }{2} \leq 2 n\ \textless \ 0 \\\ - \frac{ 3 }{4} \leq n\ \textless \ 0$
Целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству нет, значит и корней в этой серии на заданном промежутке нет.
Рассматриваем вторую серию корней:
$- \frac{ \pi }{2} \leq \frac{ \pi }{3} +2 \pi n\ \textless \ \pi \\\ - \frac{ 1}{2} \leq \frac{1}{3} +2 n\ \textless \ 1 \\\ - \frac{ 1}{2} -\frac{1}{3} \leq 2 n\ \textless \ 1-\frac{1}{3} \\\ - \frac{ 3}{6} -\frac{2}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{2}{3} \\\ -\frac{5}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{2}{3} \\\ -\frac{5}{12} \leq n\ \textless \ \frac{1}{3} \\\ n=0: \ x_1=\frac{ \pi }{3} +2 \pi \cdot 0=\frac{ \pi }{3}$
Рассматриваем третью серию корней:
$- \frac{ \pi }{2} \leq -\frac{ \pi }{3} +2 \pi n\ \textless \ \pi \\\ - \frac{ 1}{2} \leq - \frac{1}{3} +2 n\ \textless \ 1 \\\ - \frac{ 1}{2} +\frac{1}{3} \leq 2 n\ \textless \ 1+\frac{1}{3} \\\ - \frac{ 3}{6} +\frac{2}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{4}{3} \\\ -\frac{1}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{4}{3} \\\ -\frac{1}{12} \leq n\ \textless \ \frac{2}{3} \\\ n=0: \ x_2=-\frac{ \pi }{3} +2 \pi \cdot 0=-\frac{ \pi }{3}$
Ответ: -п/3; п/3

Artem112_zn · Answer 1 · 2018-04-14T04:27:55+0000

$\sin ^{2} \frac{x}{2} -\cos ^{2} \frac{x}{2} =\cos2x \\\ -(\cos ^{2} \frac{x}{2} -\sin ^{2} \frac{x}{2})=\cos2x \\\ -\cos (2\cdot \frac{x}{2} )=\cos2x \\\ -\cos x=2\cos^2x-1 \\\ 2\cos^2x+\cos x-1=0 \\\ D=1^2-4\cdot2\cdot*=(-1)=1+8=9 \\\ \cos x= \frac{-1-3}{4} =-1; \ x= \pi +2 \pi n, \ n\in Z \\\ \cos x= \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2} ; \ x=\pm \frac{ \pi }{3} +2 \pi n, \ n\in Z$

Рассматриваем первую серию корней:
$- \frac{ \pi }{2} \leq \pi +2 \pi n\ \textless \ \pi \\\ - \frac{ 1 }{2} \leq 1+2 n\ \textless \ 1 \\\ - \frac{ 3 }{2} \leq 2 n\ \textless \ 0 \\\ - \frac{ 3 }{4} \leq n\ \textless \ 0$
Целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству нет, значит и корней в этой серии на заданном промежутке нет.
Рассматриваем вторую серию корней:
$- \frac{ \pi }{2} \leq \frac{ \pi }{3} +2 \pi n\ \textless \ \pi \\\ - \frac{ 1}{2} \leq \frac{1}{3} +2 n\ \textless \ 1 \\\ - \frac{ 1}{2} -\frac{1}{3} \leq 2 n\ \textless \ 1-\frac{1}{3} \\\ - \frac{ 3}{6} -\frac{2}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{2}{3} \\\ -\frac{5}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{2}{3} \\\ -\frac{5}{12} \leq n\ \textless \ \frac{1}{3} \\\ n=0: \ x_1=\frac{ \pi }{3} +2 \pi \cdot 0=\frac{ \pi }{3}$
Рассматриваем третью серию корней:
$- \frac{ \pi }{2} \leq -\frac{ \pi }{3} +2 \pi n\ \textless \ \pi \\\ - \frac{ 1}{2} \leq - \frac{1}{3} +2 n\ \textless \ 1 \\\ - \frac{ 1}{2} +\frac{1}{3} \leq 2 n\ \textless \ 1+\frac{1}{3} \\\ - \frac{ 3}{6} +\frac{2}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{4}{3} \\\ -\frac{1}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{4}{3} \\\ -\frac{1}{12} \leq n\ \textless \ \frac{2}{3} \\\ n=0: \ x_2=-\frac{ \pi }{3} +2 \pi \cdot 0=-\frac{ \pi }{3}$
Ответ: -п/3; п/3