1. 0 < (2x-1)/(x+1) < 1/2 .⇔{ 2(x-1/2) /(x+1) >0 ; (2x-1)/(x+1) - 1/2 <0. ⇔<br>{ 2(x-1/2) /(x+1) >0 ; 3(x -1)/(x+1)<0.<br>
//////////(-1) -------- (1/2) ////////////////////////
-------- (-1) /////////////////////////(1) ////////
ответ: x∈ (1/2 ; 1) .
-------
2. Log_x/3 x > Log_x 3 - 5/2 ;
ОДЗ: { x >0 ; x ≠ 1 ; x/3 ≠ 1 .⇔ x ∈(0;1) U(1;3) U(3; ∞).
1/(Log_x x/3) > Log_x 3 - 5/2 ;
1/(1 -Log_x 3) > Log_x 3 - 5/2 ;
замена t =Log_x 3 ;
1/(1-t) > t -5/2 ;
(2t² -7t +7)/2(1-t) >0 ; но 2t² -7t +7> 0 для всех t т.к . D =7² -4*2*7 = -7<0.<br>следовательно 1 - t > 0 т.е. 1 - Log_x 3 >0 ⇔1 - 1/Log_3 x >0 ⇔
(Log_3 x -1)/ (Log_3 x) > 0 ⇔ (t - 1) / t >0 ⇔ t(t - 1) >0⇔[ t<0 ; t >1.
[Log_3 x <0 ; Log_3 x >1 .⇔ [ 03.
ответ: x∈x∈(0;1) U(3;∞).
-------
3. Log_2 ( 9^(x-1) +7) < Log_2 (3^(x-1) +1) ;<br> ОДЗ : x∈(-∞ ; ∞) т.к. 9^(x-1) +7 > 7 и 3^(x-1) +1 >1
основание логарифма 2>1 , поэтому
9^(x-1) +7 < 3^(x-1) +1 ; <br>замена t = 3^(x-1) ;
t² +7 < t +1 ;
t² -t +6 < 0 * * *но t² -t +6 = (t-1/2)² +23/4 > 0 поэтому t ∈ ∅. * **
ответ: x ∈ ∅.
-------
4. Log_0,5 (x² +1) ≤ Log_0,5 (2x -5) ;
ОДЗ : 2x -5 > 0 ⇒x∈ (2,5 ;∞).
Log_0,5 (2x -5) ≥ Log_0,5 (x² +1) ;
основание логарифма 0<0,5<1 , поэтому<br>0< 2x -5 ≤ x² +1 ⇔ { x² -2x +6 ≥ 0 ; 2x -5 >0 ; x² +1 ≥2x -5 .
{ x >2,5 ; x² -2x +6 ≥ 0 ⇔ { x >2,5 ; (x -1)² +5 ≥ 0. ⇔{ x >2,5 ;x∈R.
ответ: x ∈ (2,5 ; ∞).