1)Тангенс угла между касательной и положит. направлением оси ОХ = значению производной в точке х₀.
у=3ctgx, y¹=-3 *1/sin²x, y(π/3)= -3*1/sin²π/3=-3/(√3/2)²=-4
tgφ=-4
(y¹- это не"1", а штрих,то есть производная.Просто нет символа "штрих")
2)f¹(x)=(2/x-3/x²+4)¹=-2/x²-(-3*2x)/x⁴=-2/x²+6/x³ =0
2/x²(3/x-1)=0
2 3-x 2(3-x)
-- * ---- = 0, ---------- =0, {3-x=0, x=3. Ответ: х=3.
x² x x³ { x≠0
3) y=tgx/4
y¹=1/4 *1/cos²x, y¹(-π/6)=1/4 * 1/cos²(-π/6)=1/4 * 4/3=1/3, cos(-π/6)=cosπ/6=√3/2
tgφ=1/3
4) f(x)=6√x(x²-5)=6x^(5/2)-30√x=6x^(5/2)-30x^(1/2)
(здесь x^(5/2) означает "х в степени 5/2")
f¹(х)=6*5/2*x^(3/2)-30*1/2*x^(-1/2)=15*x^(-1/2)*(x²-1)=0
x=0, x²-1=0
(x-1)(x+1)=0 ⇒ x=-1, x=1