Помогите найти производную сложной функции. y=ln(1+cosx^2) Важен не только ответ, но и...

$y=ln(1+cosx^{2})$

Для нахождения производной воспользуемся следующей теоремой (может и не теорема, но штука полезная):
Пусть $f(g(x))$ - сложная функция, тогда $(f(g(x)))'=f'(g)*g'(x)$ .
По сути дела, данное утверждение распространяется на любое количество "внутренних" функций.
Так же для нахождения необходимо знать следующее:
$(u+v)'=u'v+uv'$

Решаем:
1) $y'=[ln(1+cosx^{2})]'=ln'(1+cosx^{2})*(1+cosx^{2})'$
2) разберемся со второй скобкой:
$(1+cosx^{2})'=1'*cosx^{2}+(cosx^{2})'*1=0*cosx^{2}+(cosx^{2})'= \\ =0+(cosx^{2})'=(cosx^{2})'=cos'x^{2}*(x^{2})'=-sinx^{2}*2x$
3) разберемся с логарифмом:
$ln'(1+cosx^{2})= \frac{1}{1+cosx^{2}}$
4) теперь перемножим то, что получилось во 2) и 3) пунктах:
$\frac{1}{1+cosx^{2}}*(-2xsinx^{2})= \frac{-2xsinx^{2}}{1+cosx^{2}}$

Можем записывать ответ:

$\frac{-2xsinx^{2}}{1+cosx^{2}}$