Вычислить площадь (плоской) фигуры, ограниченной линиями: (во вложений) С полным...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Вычислить площадь плоской фигуры ограниченной линиями

$y= \sqrt{4-x^2}$ , y=0, x=0, x=1

Решение:

Графики линий и сама плоская фигура начерчены в файлах.

Площадь фигуры найдем по формуле

$S= \int\limits^1_0 { \sqrt{1-x^2} } \, dx$

Найдем в начале неопределенный интеграл применим подстановку новой переменной х=2sin(u)

$\int\limits{ \sqrt{4-x^2} } \, dx = \begin{vmatrix}x=2sin(u)\\dx=2cos(u)du\end{vmatrix}=\int\limits{ 2cos(u)\sqrt{4-4sin^2(u)} } \, du=$

$=\int\limits{ 2cos(u)\sqrt{4(1-sin^2(u))} } \, du=\int\limits{ 4cos(u)\sqrt{cos^2(u)} } \, du=$

$=\int\limits{ 4cos^2(u) } \, du=2\int\limits{(1+cos(2u))} } \, du=2\int\limits{} } \, du+2\int\limits{cos(2u)} } \, du=$

$=2u+\int\limits{cos(2u)} } \, d2u=2u+sin(2u)=2u+2sin(u)cos(u)=$

$=2u+2sin(u) \sqrt{1-sin^2(u)}$

Производим обратную замену sin(u)=x/2, u=arcsin(x/2)

$2u+2sin(u) \sqrt{1-sin^2(u)} =2arcsin( \frac{x}{2})+ x \sqrt{1- \frac{x^2}{4}} =$

$=2arcsin( \frac{x}{2})+ \frac{x}{2}\sqrt{4- x^2}$

Поэтому неопределенный интеграл равен

$\int\limits{ \sqrt{4-x^2} } \, dx=2arcsin( \frac{x}{2})+ \frac{x}{2}\sqrt{4- x^2}$

Находим площадь фигуры

$S= \int\limits^1_0 { \sqrt{1-x^2} } \, dx =2arcsin( \frac{x}{2})+ \frac{x}{2}\sqrt{4- x^2}\begin{vmatrix}x=1\\x=0\end{vmatrix}=$

$=2arcsin( \frac{1}{2})+ \frac{1}{2}\sqrt{4- 1^2}-2arcsin( \frac{0}{2})+ \frac{0}{2}\sqrt{4- 0^2}=$

$=2arcsin( \frac{1}{2})+ \frac{ \sqrt{3}}{2}=2* \frac{\pi}{6} + \frac{ \sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3} + \frac{ \sqrt{3}}{2}\approx 1,913$

Ответ: S=π/3+√3/2≈1,913

б) $\left \{ {{x=2 \sqrt{2}cos(t) \atop {y=5 \sqrt{2}sin(t) }} (\right. y \geq 0)$

Графики линий и сама плоская фигура начерчены в файлах.

Площадь фигуры найдем по формуле

$S= \int\limits^{t_2}_{t_1} { y(t)x'(t)} } \, dt$

Производная переменной х по t равна

$x'(t)=(2 \sqrt{2}cos(t))'=-2 \sqrt{2}sin(t)$

$S= -\int\limits^{0}_{\pi} {(5 \sqrt{2}sin(t)*2 \sqrt{2}sin(t)}) } \, dt =\int\limits^{\pi}_{0} {20sin^2(t) } \, dt=$

$=10\int\limits^{\pi}_{0} {(1-cos(2t))} \, dt=10\int\limits^{\pi}_{0} dt-5\int\limits^{\pi}_{0} {cos(2t)} \, d2t=$

$(10t-5sin(2t))\begin{bmatrix}t_2=\pi\\t_1=0\end{bmatrix}=10\pi-5sin(2\pi)-10*0+5sin(2*0)=10\pi$

Ответ: 10π≈31,4

в) r =4сos( $\psi$ )

Плоская фигура начерчена в файлах.

Площадь фигуры найдем по формуле

$S= \frac{1}{2} \int\limits^{ \beta} _{ \alpha } {r^2(\psi)} \, d\psi$

Так как фигура состоит из 8 одинаковых симметричных лепестков, то определим площадь половинки лепестка и умножим на 16. При этом углы интегрирования будут равны
$\alpha =0$ $\beta = \frac{\pi}{8}$

$S= 16*\frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {16cos^2(4\psi)} \, d\psi=128\int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {cos^2(4\psi)} \, d\psi=64\int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {(1+cos(8\psi))} \, d\psi$

$=64\int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {} \, d\psi+8\int\limits^{ \frac{\pi}{8} } _{ 0 } {cos(8\psi)} \, d8\psi=(64\psi+8sin(8\psi))\begin{vmatrix}\beta =\frac{\pi}{8}\\ \alpha =0\end{vmatrix}=$

$64* \frac{\pi}{8}+8sin(8* \frac{\pi}{8} )-64*0+8sin(8*0)=8\pi\approx 25,1$

<img src="/?qa=blob&qa_blobi

Minsk00_zn (11.0k баллов) 14 Апр, 18