Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке K, лежащей ** стороне CD....

Question

Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Comments

В условии что-то не так: точка лежащая на стороне CD не может быть удалена от CD на такое же расстояние, как от сторон AB и BC.

Answer 1

Скорее всего в условии имелось в виду, что точка К равноудалена от АВ, ВС и АD. Потому что CD не может быть в вопросе, ведь точка К лежит на ней!!!
Если речь идет о сторонах АВ, ВС и АD, тогда необходимо в треугольниках КВС, КВА и КАD провести три высоты (поскольку речь идет о равноудаленности, а расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на соответствующую прямую.)
Итак, пусть KF - высота в треугольнике КВС, КТ - высота в треугольнике КВА, КМ - высота в треугольнике KAD.
1) Рассмотрим треугольники KFB и KBT. Они прямоугольные. А т.к. КВ - общая у них сторона и КВ - биссектриса угла АВС, то получаем, что угол BKF = углу ТКВ. А значит эти треугольники равны (по 2-му признаку).
2) Аналогично доказывается равенство треугольников КТА и КМА.
3) Из равенств треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, KF = KT = KM, следовательно точка К равноудалена от указанных сторон. Ч.т.д.