1. Проверяем равенство при n=1:
1/(1*4)=0,25=1/(3*1+1)=0,25 - равенство выполняется.
2. Допустим, что равенство верно при любом n=k.
3. Проверяем, выполняется ли равенство при переходе от n=k к n=k+1.
Слева имеем 1/(1*4)+1/(4*7)+.......+1/((3k-2)*(3k+1))+1/((3k+1)* (3k+4))=
k/(3k+1)+1/((3k+1)* (3k+4))=(k(3k+4)+1)/((3k+1)* (3k+4))=
(3*k*k+4*k+1)/((3k+1) *(3k+4))=3*(k+1/3)*(k+1)/((3k+1)* (3k+4))=
=(3k+1)*(k+1)/((3k+1)* (3k+4))=(k+1)/(3k+4).
Справа при n=k+1 имеем (k+1)/(3*(k+1)+1)=(k+1)/(3k+4)
Левая и правая части равны, поэтому равенство справедливо при любом n