Сколько решений имеет уравнение : ((J → K) → (M /\ N /\ L)) /\ ((J /\ ¬K) → ¬(M /\ N /\...

Question

Сколько решений имеет уравнение :
((J → K) → (M /\ N /\ L)) /\ ((J /\ ¬K) → ¬(M /\ N /\ L)) /\ (M → J) = 1.
Решите задачу, не используя таблицы истинности.

Answer 1

Можно заметить, что (J /\ ¬K) = ¬(J → K), тогда выражение превратится в 
((J → K) → (M /\ N /\ L)) /\ (¬(J → K) → ¬(M /\ N /\ L)) /\ (M → J)

Сравним две подчёркнутые скобки, они похожи: первая имеет вид A → B, вторая ¬A → ¬B. Обе скобки должны быть одновременно равны 1, откуда A = B. Итак, уравнение можно переписать в виде системы двух уравнений:

(J → K) = (M /\ N /\ L)
(M → J) = 1

Если бы J равнялось 0, то система бы решений не имела: из второго уравнения получилось бы, что M = 0, когда первое уравнение вырождается в неверное равенство 1 = 0. Значит, J = 1. Второе уравнение в таком случае выполняется при любых M, а первое имеет вид
(1 → K) = (M /\ N /\ L)
Если K = 0, то M /\ N /\ L = 0, это выполняется всегда, кроме случая M = N = L = 0 [8 - 1 = 7 решений].
Если K = 1, то M /\ N /\ L = 1, это верно при M = N = L = 1 [1 решение]
Всего получается 7 + 1 = 8 решений.

Answer 2

Ис­поль­зу­ем фор­му­лы

  A → B = ¬A ∨ B и ¬(А ∨ В) = ¬А ∧ ¬В 

Рас­смот­рим первую под­фор­му­лу:

 (J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (М ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

 Рас­смот­рим вто­рую под­фор­му­лу 

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L 

Рас­смот­рим тре­тью под­фор­му­лу 

1) M → J = 1 сле­до­ва­тель­но, 
а) M = 1 J = 1 (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L; 
(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L; 

Объ­еди­ним: 

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1
сле­до­ва­тель­но, 4 ре­ше­ния. 

б)

M = 0 J = 1(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;  
(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L 

Объ­еди­ним:

 K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L
сле­до­ва­тель­но, 4 ре­ше­ния. 

в) M = 0 J = 0. (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0. 
(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L. 

Ответ: 4 + 4 = 8.