Через вершину А основы АС равнобедренного треугольника АВС проведена прямая, пересекающая...

Question

Через вершину А основы АС равнобедренного треугольника АВС проведена прямая, пересекающая высоту треугольника BN и боковую сторону ВС в точках В и М соответственно, причем ВМ: МС = 1: 2. Докажите, что ВО = ON.

---

Comments

умоляяююю(( кто-то помогите((

---

там вроде параллельную прямую надо провести.. 

---

параллельную ам

---

Есть еще очень красивое доказательство (совсем не сложное, просто ответ получается сам собой). Надо провести перпендикуляр в точке C к AC. Пусть точка E лежит на продолжении AB за вершину B и этого перпендикуляра. Ясно, что треугольник AEC подобен треугольнику ABN, так как BN II CE.

---

Ясно - тоже потому, что BN II CE; что AB = BE; потому что AN = NC; то есть в треугольнике AEC CB - медиана.

---

Собственно, уже все видно :) так как M делит медиану в отношении 2/1, считая от C, то AM - тоже медиана, и поэтому делит CE пополам. Так как ABN подобен AEC, в нем AO тоже медиана :)

---

Решение, выведенное в ответ - совершенно правильное, и метод стоит запомнить :) а в общем случае такие задачи решаются с помощью теоремы Чевы.

---

"точка E лежит на продолжении AB за вершину B и этого перпендикуляра" следует читать "точка Е лежит на пересечении AB, точнее -его продолжения за точку B и этого перпендикуляра"

Answer 1

Треугольник АВС равнобедренный, АВ=ВС, ВН-высота=медиана=биссектриса ВМ/МС=1/2, проводим НК параллельную АМ, по теореме Фалеса АН/НС=МК/КС, АН=НС, 1/1=МК/КС, , т.е МС делится точкой К на две равные части МК=КС=1 часть, и тогда МК=КС=1 часть=ВМ, треугольник ВНК НК паралельна ОМ, по той же теореме, ВМ/МК=ВО/ОН, 1/1=ВО/ОН, 1/1=1/1, т.е т.О делит ВН на две равные части ВО=ОН