1) Длина ребра А1А2:
7.3484692.
2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Вектор А1А2: (6-3=3; 9-3=6; 1-4=-3) = (3; 6; -3).
Вектор А1А4: (8-3=5; 5-3=2; 8-4=4) = (5; 2; 4).
a · b =
ax ·
bx +
ay ·
by +
az ·
bza · b = 3 · 5 + 6 · 2 + (-3) · 4 = 15 + 12 - 12 = 15
|a| = √(ax²
+ ay²
+ az²) = √(3² + 6² + (-3)²) =
= √9 + 36 + 9 = √54 = 3√6
b| = √(bx²
+ by²
+ bz²) = √(5² + 2² + 4²) =
= √(25 + 4 + 16) = √45 = 3√5
cos α = a · b|a||b|cos α = 15/3√6 · 3√5
= √30/18 ≈
0.3042903
α = arccos 0.3042903 =
1.261603 радиан = 72.28453°.
3) Угол
между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
Уравнение плоскости грани А1А2А3.
Пусть
(х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и
третьей точки соответственно.
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1)
– (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) +
(z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Получаем
уравнение
плоскости грани ABC:
x
-x1
-6
-12
y
y1
-3
6
z
z1
12
-12
6
-18
9
-27
24
-96
6x
+
9y
+
24z
- 141
=
0
После сокращения на 3:
2x + 3y + 8z - 47 = 0.
Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А•x + В•y + C•z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла α между векторами V и N равен:
сos α = (а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²)).
Чтобы вычислить величину угла в градусах или радианах, нужно от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т.е. арккосинус:α = аrссos ((а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²))).
sin
радиан
градусов
x
y
z
0.815436
0.953481
54.6304465
AS
5
2
4
0.658524
0.718855
41.1873695
BS
2
-4
7
0.619368
0.667937
38.2699774
CS
7
-2
5
ABC
6
9
24
Угол α =
0.953481
радиан = 54.6304465°.