1. Треугольник - это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. (Рис. 1)
Стороны: АВ, ВС, АС.
Вершины: А, В, С.
Углы: ∠АВС, ∠АСВ, ∠ВСА.
2. Равными называются треугольники, которые совпадают при наложении.
3. Теорема - это утверждение, которое доказывается на основании уже известных свойств путем рассуждений.
4. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны стороне и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Совместим равные углы треугольников таким образом, чтобы совпали их вершины и стороны. Так как длины сторон, образующих эти углы, равны, то совпадут и две другие вершины. А через две точки можно провести единственный отрезок. Значит, совпадет и третья сторона. Треугольники совпали при наложении, значит они равны.
5. Перпендикулярные прямые - это прямые, которые пересекаются под прямым углом. Перпендикуляр к данной прямой - это отрезок перпендикулярной прямой, один конец которого является точкой их пересечения.
6. Из данной точки можно опустить единственный перпендикуляр к данной прямой. (рис. 2)
Доказательство: перегнем плоскость по прямой а, тогда точка А отобразится в нижнюю полуплоскость (А'). ∠1=∠2, так как они совместились при наложении. Эти углы смежные, значит каждый из них равен 90°. Через две точки А и А' можно провести единственную прямую, поэтому перпендикуляр - единственный.
7. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. В треугольнике 3 медианы.
8. Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника и точку на противолежащей стороне. В треугольнике 3 биссектрисы.
9. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника. В треугольнике 3 высоты.
10. Равнобедренный - треугольник, у которого две стороны равны.
Равные стороны называются боковыми, а третья - основание.
11. Равносторонний - треугольник, у которого все стороны равны.
12. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
13. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство п.12 и 13 (рис. 3) :
АВ = ВС так как треугольник равнобедренный,
∠АВМ = ∠СВМ так как ВМ - биссектриса,
ВМ - общая сторона для треугольников АВМ и СВМ, значит
ΔАВМ = ΔСВМ по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует, что
∠ВАС = ∠ВСА (п. 12)
и АМ = МС ⇒ ВМ - медиана,
и ∠1 = ∠2, а они смежные, значит ∠1 = ∠2 = 90°, т.е.
ВМ - высота.
14. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство: Совместим треугольники так, чтобы совпали равные стороны. Так как углы, прилежащие к этим сторонам, равны, то совпадут и эти углы, но тогда совпадет и третья вершина. Следовательно, треугольники равны.
15. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 4)
Доказательство:
Совместим большие стороны треугольников и соединим точки В₁ и В₂. Получили два равнобедренных треугольника В₁А₁В₂ и В₁С₁В₂.
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как углы при основании равнобедренных треугольников.
Тогда и ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4. Т.е. ∠В₁ = ∠В₂. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.