Высота прямоугольного треугольника делит его ** два треугольника. Радиусы окружностей,...

Question

Высота прямоугольного треугольника делит его на два треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти два треугольника, равны 1 и 2. Найдите радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.

Answer 1

Все три треугольника подобны между собой. Это означает, что радиусы вписанных окружностей пропорциональны гипотенузам этих треугольников (с одним и тем же коэффициентом пропорциональности). В двух треугольниках, на которые высота делит исходный, "роль гипотенуз выполняют" катеты исходного треугольника.
Поэтому r^2 = r1^2 + r2^2 = 5;

Comments

непонятно, почему пропорциональность завершается теоремой Пифагора- это надо доказать.

---

А вы предыдущее предложение прочтите, это и есть доказательство. Но если вам не понятны совершенно очевидные вещи, я могу и расшифровать это на "математическом" языке. Раз все три треугольника подобны, то есть такое постоянное число K, такое, что r = K*c; где r - радиусы вписанных окружностей, а с - гипотенузы. Гипотенузы двух из этих трех треугольников - это катеты третьего, то есть c1 = a; c2 = b; а по теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2;

---

Я не уверен, так что если вам еще не понятно - напишите, я продолжу :) Что касается r = K*c; то это можно доказать например так r = (a + b - c)/2 = c*(a/c + b/c - 1)/2; то есть K = (a/c + b/c - 1)/2; ясно, что для подобных треугольников отношения a/c и b/c - одинаковые.

---

Линейную связь между радиусом вписанной окружности и сходственными сторонами подобных треугольников можно доказать и для произвольного треугольника

---

не только для прямоугольного, но я это тут писать не буду - сами покопайтесь, если интересно.