Высшая математика. Интегралы и производные

Question

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-13T09:53:08+0000

№2

а) $f'_x (x) = 9 ( \frac{x}{|x|} ( 1 + x^{-2} )^{ -\frac{1}{2} } )'_x = 9 \frac{x}{|x|} x^{-3} ( 1 + x^{-2} )^{ -\frac{3}{2} } =$

$= \frac{9}{x^2|x|( 1 + \frac{1}{x^2} )^{ \frac{3}{2} } } = \frac{9}{ \sqrt{ ( x^2 + 1 )^3 } }$ ;

$f'_x ( 2 \sqrt{2} ) = \frac{9}{ \sqrt{ ( ( 2 \sqrt{2} )^2 + 1 )^3 } } = \frac{9}{ \sqrt{ ( 8 + 1 )^3 } } = \frac{9}{ \sqrt{ 3^{ 2 \cdot 3 } } } = \frac{3^2}{3^3} = \frac{1}{3}$ ;

б) $f'_x (x) = ( \cos{2x} + \frac{ 2 \cos{2x} \cdot \sin{2x} }{2} )'_x = - 2 \sin{2x} + ( \frac{ \sin{4x} }{2} )'_x =$

$= - 2 \sin{2x} + 2 \cos{4x} = 2 ( \cos{4x} - \sin{2x} )$ ;

$f'_x ( \frac{\pi}{8} ) = 2 ( \cos{ ( 4 \cdot \frac{\pi}{8} ) } - \sin{ ( 2 \cdot \frac{\pi}{8} ) } ) = 2 ( \cos{ \frac{\pi}{2} } - \sin{ \frac{\pi}{4} } ) = 2 ( 0 - \frac{ \sqrt{2} }{2} ) = -\sqrt{2}$ ;

О т в е т :

a) $f'_x ( 2 \sqrt{2} ) = \frac{1}{3}$ ;

б) $f'_x ( \frac{\pi}{8} ) = -\sqrt{2} .$

№4 $y^2 dx = e^x dy$ ;

$e^{-x} dx = y^{-2} dy$ ;

$\int\limits{ e^{-x} } \, dx = \int\limits{ y^{-2} } \, dy$ ;

$-\int\limits{ e^{-x} } \, d(-x) = \frac{1}{-2+1} y^{-2+1} + C$ ;

$e^{-x} = y^{-1} + C$ ;

$\frac{1}{e^x} = \frac{1}{y} + C$ ;

Подставим частные значения: $(x;y) = (0;1)$ :

$\frac{1}{e^0} = \frac{1}{1} + C$ ;

$1 = 1 + C$ ;

$C = 0$ ;

Тогда: $\frac{1}{e^x} = \frac{1}{y} + 0$ ;

$\frac{1}{e^x} = \frac{1}{y}$ ;

О т в е т : $y = e^x .$

№7 странная задача.

Вычислим для начала точное значение:

$\int\limits^5_0 { ( 3 x^2 + 2 ) } \, dx = ( x ( x^2 + 2 ) ) |^5_0 = 5 ( 5^2 + 2 ) - 0 ( 0^2 + 0 ) =$

$= 5 ( 25 + 2 ) = 5 \cdot 27 = 135$ ;

Теперь приблизительное:

$\int\limits^5_0 { ( 3 x^2 + 2 ) } \, dx \approx \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 ( k h - \frac{h}{2} )^2 + 2 ) h ) =$

$= \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} ( ( 3 h^2 ( k - \frac{1}{2} )^2 + 2 ) h ) = 3 h^3 \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} ( k - \frac{1}{2} )^2 + \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} 2h =$

$= 3 h^3 \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} ( k^2 - k + \frac{1}{4} ) + 2h \cdot 10 =$

$= 3 h^3 ( \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} k^2 - \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} k + \Sigma\limits^{k=10}_{k=1} (\frac{1}{4} ) ) + 20h$ ;

$\Sigma\limits^{k=n}_{k=1} k = \frac{n(n+1)}{2}$ ;

$\Sigma\limits^{k=n}_{k=1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ;

$\int\limits^5_0 { 3 x^2 + 2 } \, dx \approx 3 h^3 ( \frac{10(10+1)(2 \cdot 10+1)}{6} - \frac{10(10+1)}{2} + \frac{10}{4} ) + 20h =$

$= 3 h^3 ( \frac{ 5 \cdot 11 \cdot 21 }{3} - 5 \cdot 11 + 2.5 ) + 20h =$

<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+%3D+3+h%5E3+%28+5+%5Ccdot+11+%5Ccdot+7+-+5+%5Ccdot+11+%2B+2.5+%29+%2B+20h+%3D+3+h%5E3+%28+5+%5Ccdot+11+%28+7+-+1+%29+%2B+2.5+%29+%2B+20h+%3D+" id="TexFormula32" title=" = 3 h^3 ( 5 \cdot 1