X*y''=y'+x^2, помогите определить какой тип дифференциального уравнения. Можно без...

Question

X*y''=y'+x^2, помогите определить какой тип дифференциального уравнения. Можно без решения.

Представлял как x*y''-y'=x^2,
и пробовал решить левую часть, как ДУ n-го порядка допускающее понижением порядка, получилось y=x^2/2+c1x+c2, но при решение правой части (x^2) возникает проблемы, нашел пример, когда в правой части ни один из корней равен нулю и используется формула ~y=Ax^2+Bx+C, но у меня не такой случай.
P.S уже задавал вопрос, в профиле висит.

Answer 1

Вообще это ЛДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. Вводом переменной z=y' приходим к уравнению x*z'-z-x^2=0 = z'-z/x-x=0 - ЛДУ 1-го порядка. Пусть z=u*v ->u'*v+u*v' -u*v/x-x=0, v(u'-u/x)+u*v'-x=0, u'-u/x=0, du/u=dx/x, ln(u)=ln(x), u=x, x*v'=x, v'=1,v=x+C1, z=x*(x+C1)=x^2+C1*x. Проверка: x*z'-z-x^2=2*x^2+C1*x-x^2-C1*x-x^2=0, так что z найдено верно. Тогда y=x^3/3+C1*x^2/2. Проверка: y'=x^2+C1*x, y''=2*x+C1, x*y''-y'=2*x^2+C1*x-x^2-C1*x=x^2, так что у найдена верно.
Ответ: y=x^3+C1*x^2/2+C2

Comments

Блин, все так просто оказалось... Я пробовал подстановку z', но вот дальше пытался прийти к интегральной форме, умножая на dx и деля на x и все время в тупик заходил. Спасибо огромное.

---

Только вот я забыл стереть неправильное выражение для у в середине (перед словом "Проверка". Сейчас исправлю.)