В разностороннем треугольнике большая сторона составляет 75 % суммы двух других. Точка М,...

Question

513 просмотров

В разностороннем треугольнике большая сторона составляет 75 % суммы двух других. Точка М, принадлежащая этой стороне, является концом биссектрисы
треугольника. Найдите расстояние от точки М до меньшей стороны треугольника, если меньшая высота треугольника равна 4 см.

Геометрия rrrrtttt01_zn (7.2k баллов) 13 Апр, 18 | 513 просмотров

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Пусть треугольник АВС, АС - основание и точка М - конец биссектрисы. Пусть АВ - меньшая сторона.
АС=0,75*(АВ+ВС) или 0,75*АВ+0,75*ВС.
Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол, значит меньшая высота - это высота ВК.
Итак, ВК=4. Тогда площадь треугольника АВС равна (1/2)*АС*ВК или Sabc=2AC=1,5(AB +BC).
Треугольники АВМ и АВС имеют общую высоту, опущенную из вершины В этих треугольников. Значит их площади относятся, как их основания (свойство).
Поскольку ВМ - биссектриса, то АМ/МС=0,75АВ/0,75ВС (свойство биссектрисы).
Тогда Sabm/Sabc=0,75*АВ/АС=0,75*АВ/0,75*(АВ+ВС) = АВ/АВ+ВС.
Отсюда Sabm=Sabc*АВ/(АВ+ВС) или Sabm=1,5(AB+BC)*АВ/(АВ+ВС) или
Sabm=1,5*АВ.
С другой стороны, площадь треугольника АВМ равна Sabm=(1/2)*AB*h, где h- искомое расстояние - перпендикуляр из точки М к стороне АВ.
Тогда 1,5*АВ=(1/2)*AB*h, отсюда h= 1,5*2=3.
Ответ: расстояние от точки М до меньшей стороны треугольника равно 3.
P.S. Намного длиннее, но может чуть понятнее...

Andr1806_zn (117k баллов) 13 Апр, 18

Матов_zn · Answer 1 · 2018-04-13T08:35:44+0000

Меньшая высота проведена , к большей стороне
$a\ \textgreater \ b\ \textgreater \ c \\ a=0.75(b+c) \\$
$a,b,c$ стороны треугольника
Получим тогда из формул площадь через стороны и высоту
$bc*sin2a = 3(b+c)$
$a$ угол между биссектрисой и сторонами
Биссектриса по формуле равна $l = \frac{2bc*sina}{b+c} = \frac{3}{sina}$
Тогда высота (расстояние проведенная к меньшей стороне )
$\frac{ch}{2} = \frac{\frac{3}{sina}*c*sina}{2} \\ h=3$
Ответ $3$