может ли плоскость проходящая через середины сторон треугольника пересекать его третью сторону?
нет не может) прямая пересечения треугольника и этой плоскости является средней линией, а она паралельна 3 стороне))) и нам известно, что паралеьные прямая и плоскость не пересекаются!!!
В принципе может, если этот треугольник принадлежит этой плоскости.
Конечно, скорее всего имелось в виду решение предложенное тов. MeTHoD, но
нигде в условии задачи я не вижу информации что треугольник не может принадлежать данной плоскости.