Помогите решить уравнение

$1+ctg2x=\frac{1}{cos(\frac{3\pi}{2}-2x})\\1+ctg2x=-\frac{1}{sin2x}|*sin2x\\sin2x+cos2x=-1\\2sinxcosx+(cos^2x-sin^2x)=-(sin^2x+cos^2x)\\2sinxcosx+cos^2x-sin^2x+sin^2x+cos^2x=0\\2cos^2x+2sinxcosx=0\\2cosx(cosx+sinx)=0\\\\2cosx=0\\cosx=0\\x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \; n\in Z\\\\cosx+sinx=0|:cosx\\1+tgx=0\\tgx=-1\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi k, \; k\in Z$

Хотя можно и так, с одним решением:
$1+ctg2x=\frac{1}{cos(\frac{3\pi}{2}-2x})\\1+ctg2x=-\frac{1}{sin2x}|*sin2x\\sin2x+cos2x=-1\\2sinxcosx+(cos^2x-sin^2x)=-(sin^2x+cos^2x)\\2sinxcosx+cos^2x-sin^2x+sin^2x+cos^2x=0\\2cos^2x+2sinxcosx=0|:cos^2x \\ 2+2tgx=0\\2tgx=-2\\tgx=-1\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, \; n\in Z$