Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми y=0, x=1, x=4 параболой, проходящей через...

Сначала найдем уравнение параболы.

y=a(x-b)^2+c

Т.к. y(A)=y(C), то b=(1+5)/2=3.

$\begin{cases} a(1-3)^2+c=-3\\ a(3-3)^2+c=-2 \end{cases}$

Из второго уравнения сразу же c=-2. Подставляя в первое уравнение, получаем

4a-2=-3

a=-1/4

$S=-\int\limits_1^4 y\,dx=\dfrac14\int\limits_1^4(x-3)^2dx+2\int\limits_1^4\,dx=\dfrac1{12}(x-3)^3|_1^4+6=\\ =\dfrac1{12}(1-8)+6=6-\dfrac7{12}=5\dfrac5{12}$