Решите пожалуйста (((

Question

Дан 1 ответ

gartenzie_zn · Answer 1 · 2018-04-13T06:27:16+0000

[[[ 1 ]]]

$f(x) = 3x - x^3$ ;

О б л а с т ь . о п р е д е л е н и я . ф у н к ц и и

$D(f(x)) = R ,$ поскольку никаких действий, накладывающих ограничения нет.

$E(f(x)) = R ,$
поскольку при $x \to -\infty ,$ функция $f(x) \to +\infty ,$
а при $x \to +\infty ,$ функция $f(x) \to -\infty .$

Н е п р е р ы в н о с т ь . ф у н к ц и и . и . е ё . н е ч ё т н о с т ь

$f(-x) = 3(-x) - (-x)^3 = -3x + x^3 = - ( 3x - x^3 ) = -f(x)$ ;

функция нечётна и она не имеет критических точек, т.е. везде однозначно определена, а значит, везде непрерывна.

П е р е с е ч е н и е . с . о с я м и . к о о р д и н а т

Точек разрыва нет.

$f(0) = 0$ ;

$f(x) = 0 ; \Rightarrow x ( 3 - x^2 ) = 0 ; \Rightarrow x \in \{ \pm\sqrt{3} , 0 \}$ ;

Пересечение с осями координат $( x ; y ) \in \{ ( \pm\sqrt{3} ; 0 ) , ( 0 ; 0 ) \}$ ;

А с и м п т о т ы

Поскольку при $x \to -\infty ,$ функция $f(x) \to +\infty ,$
а при $x \to +\infty ,$ функция $f(x) \to -\infty ,$

то горизонтальных асимптот нет.

Нет и вертикальных асимптот, поскольку нет критических точек.

Производная $f'_x (x) = 3 - 3x^2$ при $x \to \infty ,$ тоже $f'_x (x) \to \infty ,$
а поэтому нет и наклонных асимптот.

В о з р а с т а н и е , у б ы в а н и е , э к с т р е м у м ы . ф у н к ц и и

Производная $f'_x (x) = 3 - 3x^2 = -3 ( x^2 - 1 ) = -3 ( x + 1 ) ( x - 1 )$ ;

при $x < -1 ; \Rightarrow f'_x (x) < 0 ; \Rightarrow f(x)$ – убывает ;
при 0 ; \Rightarrow f(x) " alt=" -1 < x < 1 ; \Rightarrow f'_x (x) > 0 ; \Rightarrow f(x) " align="absmiddle" class="latex-formula"> – возрастает ;
при 1 ; \Rightarrow f'_x (x) < 0 ; \Rightarrow f(x) " alt=" x > 1 ; \Rightarrow f'_x (x) < 0 ; \Rightarrow f(x) " align="absmiddle" class="latex-formula"> – убывает ;

при $x = -1 ; \Rightarrow f'_x (x) = 0 ; \Rightarrow f(x)$ – имеет локальный мин. $f(-1) = -2$ ;
при $x = 1 ; \Rightarrow f'_x (x) = 0 ; \Rightarrow f(x)$ – имеет локальный макс. $f(1) = 2$ ;

В ы п у к л о с т ь , в о г н у т о с т ь . и . п е р е г и б ы . г р а ф и к а

Вторая производная $f''_x (x) = -6x$ ;

при 0 ; \Rightarrow f(x) " alt=" x < 0 ; \Rightarrow f''_x (x) > 0 ; \Rightarrow f(x) " align="absmiddle" class="latex-formula"> – вогнута ;
при 0 ; \Rightarrow f''_x (x) < 0 ; \Rightarrow f(x) " alt=" x > 0 ; \Rightarrow f''_x (x) < 0 ; \Rightarrow f(x) " align="absmiddle" class="latex-formula"> – выпукла ;

График на изображении [1]

[[[ 2 ]]]

$f(x) = 4x^2 - x^4$ ;

О б л а с т ь . о п р е д е л е н и я . ф у н к ц и и

$D(f(x)) = R ,$ поскольку никаких действий, накладывающих ограничения нет.

Н е п р е р ы в н о с т ь . ф у н к ц и и . и . е ё . ч е т н о с т ь

$f(-x) = 4(-x)^2 - (-x)^4 = 4x^2 - x^4 = f(x)$ ;

функция чётна и она не имеет критических точек, т.е. везде однозначно определена, а значит, везде непрерывна.

П е р е с е ч е н и е . с . о с я м и . к о о р д и н а т

Точек разрыва нет.

$f(0) = 0$ ;

$f(x) = 0 ; \Rightarrow x^2 ( 4 - x^2 ) = 0 ; \Rightarrow x \in { \pm2 , 0 }$ ;

Пересечение с осями координат $( x ; y ) \in { ( \pm2 ; 0 ) , ( 0 ; 0 ) }$ ;

А с и м п т о т ы

Поскольку при $x \to \pm\infty ,$ функция $f(x) \to -\infty ,$

то горизонтальных асимптот нет.

Нет и вертикальных асимптот, поскольку нет критических точек.

Производная $f'_x (x) = 8x - 4x^3$ при $x \to \pm\infty ; \Rightarrow f'_x (x) \to \mp\infty ,$
а поэтому нет и наклонных асимптот.

В о з р а с т а н и е , у б ы в а н и е . ф у н к ц и и

Производная $f'_x (x) = 8x - 4x^3 = -4x ( x^2 - 2 ) = -4x ( x + \sqrt{2} ) ( x - \sqrt{2} )$ ;

при 0 ; \Rightarrow f(x) " alt=" x < -\sqrt{2} ; \Rightarrow f'_x (x) > 0 ; \Rightarrow f(x) " align="absmiddle" class="latex-formula"> – возрастает ;
при $-\sqrt{2} < x < 0 ; \Rightarrow f'_x (x) < 0 ; \Rightarrow f(x)$ – убывает ;
при <img src="https://tex.z