Скалярное произведение векторов, свойства. Длина векторов. Угол между векторами.Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. Длина вектора.Пусть вектор a¯¯¯=(x,y,z) представлен своими координатами в прямоугольном базисе. Тогда его длину можно вычислить по формуле|a¯¯¯|=x2+y2+z2−−−−−−−−−−√. Скалярное произведение векторов. Если заданы координаты точек A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2), то координаты вектора AB¯¯¯¯¯¯¯¯ можно найти по формуламAB¯¯¯¯¯¯¯¯=(x2−x1,y2−y1,z2−z1).Скалярным произведением ненулевых векторов a1 и a2 называется число(a1,a2)=|a1||a2|cos(a1,a2ˆ). Для скалярного произведения наряду с обозначением (a1,a2) используется также обозначение a1a2. Геометрические свойства скалярного произведения:1) a1⊥a2⇔a1a2=0 (условие перпендикулярности векторов).2) Если φ=(a1,a2ˆ), то0≤φ<<span>π2⇔a1a2>0;π2<φ≤π⇔<span>a1a2<0.</span>Алгебраические свойства скалярного произведения:1) a1a2=a2a1;2) (λa1)a2=λ(a1a2);3) a(b1+b2)=ab1+ab2.Если векторы a1(X1,Y1,Z1) и a2(X2,Y2,Z2) представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равноa1a2=X1X2+Y1Y2+Z1Z2.Из этой формулы, в частности, следует формула для определения косинуса угла между векторами:cos(a1,a2ˆ)=a1a2|a1||a2|=X1X2+Y1Y2+Z1Z2X21+Y21+Z21−−−−−−−−−−−−√X22+Y22+Z22−−−−−−−−−−−−√.Примеры.2.65. |a1|=3;|a2|=4;(a1,a2ˆ)=2π3. Вычислить:а) a21=a1a1;б) (3a1−2a2)(a1+2a2);в) (a1+a2)2.Решение. а) a21=(a1,a1)=|a1||a1|cos(a1,a1ˆ)=|a1|2=32=9.б) (3a1−2a2)(a1+2a2);Поскольку скалярное произведение зависит от длин векторов и угла между ними, то заданные векторы можно выбрать произвольно учитывая эти характеристики. Пусть a1=(3;0). Тогда вектор a2, имея длину |a2|=4, и, образуя угол 2π3 с положительной полуосью оси OX, имеет координаты x=|a2|cos2π3=−42=−2; y=|a2|sin2π3=43√2=23√ 3a1−2a2=3(3;0)−2(−2;23√)=(9;0)−(−4;43√)=(13;−43√);a1+2a2=(3;0)+2(−2;23√)=(3;0)+(−4;43√)=(−1;43√). (3a1−2a2)(a1+2a2)=(13;−43√)(−1;43√)=−13−48=−61.в) (a1+a2)2.a1+a2=(3;0)+(−2;23√)=(1;23√).(a1+a2)2=(1;23√)(1;23√)=1+12=13.Ответ: a) 9; б) -61; в) 13.