Пожалуйста.Вычеслить неопределенный интеграл dx/(5*cos(x)+3) есть примерное решение, но...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

В решении есть небольшие ошибки...

Пояснение насчет подстановок:

$t(x) = \tan \frac{x}{2}\\ t'(x) = dt/dx\\ dt = t'(x)dx = \frac{(\frac{x}{2})'}{\cos^2 \frac{x}{2}}dx = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{2\cos \frac{x}{2}}dx = \\ =\frac{dx}{2}(1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}) = \frac{dx}{2}(1 + \tan^2 \frac{x}{2})= \frac{dx}{2}(1+t^2)\\ dx = \frac{2dt}{1+t^2}$

По формуле двойного угла:

$\cos x = \frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Теперь загоняем все в интеграл

$\int \frac{dx}{5\cos x+3}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{5\frac{1-t^2}{1+t^2}+3} = \int \frac{2dt}{5(1-t^2)+3(1+t^2)}=\\ =\int \frac{2dt}{8-2t^2} = \int \frac{dt}{4-t^2} = -\int \frac{dt}{t^2-2^2} =\\ =-\frac{1}{4}\ln\frac{|t-2|}{|t+2|} + C$

Далее вместо t подставляем тангенс половинного угла (из подстановки) и получаем окончательный ответ.

PS Ответ какой-то не очень красивый... если в условии поменять 3 и 5 местами, то ответ будет намного красивее, т.к. вместо логарифма появится arctg, который очень кстати будет для подстановки ;)

hELFire_zn (11.5k баллов) 06 Март, 18

DRVal_zn · Answer 1 · 2018-03-06T01:11:15+0000

Производная f(t) от ф-ции x=F(t) как обозначается?

F'(t)=dx/dt=f(t) -> dx/dt=f(t) -> dx=f(t)dt -> dx=F'(t)dt

Вот так это dt и появляется.

А вот тебе полное решение:

integral 1/(5 cos(x)+3) dx

t = tg(x/2), dt = 1/2 sc^2(x/2) dx. sin(x) = (2t)/(t^2+1), cos(x) = (1-t^2)/(t^2+1) и dx = (2dt)/(t^2+1):

= integral 2/((t^2+1)((5(1-t^2))/(t^2+1)+3)) dt

Упростим 2/((t^2+1)((5(1-t^2))/(t^2+1)+3)),

получим 1/(4-t^2):

= integral 1/(4-t^2) dt = integral 1/(4(1-t^2/4)) dt = 1/4 integral 1/(1-t^2/4) dt

Для интегрирования 1/(1-t^2/4), сделаем еще одну подстановку:

s = t/2 and ds = 1/2 dt:

= 1/2 integral 1/(1-s^2) ds

Интеграл от 1/(1-s^2) равен arcth(s): = 1/2 arcth(s)+C

Вернемся к подстановке s = t/2:

= 1/2arcth(u/2)+С

Вернемся к подстановке t = tg(x/2):

1/2 arccth(2 ctg(x/2))+C= 1/4 (lg(sin(x/2)+2 cos(x/2))-lg(2 cos(x/2)-sin(x/2)))+C

Только мне интересно, где это такие страшные интегралы заставляют брать?