Помогите с алгеброй 50 баллов

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Важно ! – чертёж в приложенном файле.

1)

(I) Нули аргумента и функции:
$y = x^4 - 4 x^2 = x^2 ( x^2 - 4 ) = x^2 ( x - 2 ) ( x + 2 )$ ;
Значит три точки, содержащие ноли: ( -2 ; 0 ) , ( 0 ; 0 ) , ( 2 ; 0 ) – принадлежат исследуемой функции.

(II) Максимумы, минимумы, замирания, интервалы роста и убывания:
$y'_x = 4 x^3 - 8 x = 4 x ( x^2 - 2 ) = 4 x ( x - \sqrt{2} ) ( x + \sqrt{2} )$ ;
Значит точки максимумов и минимумов, это: $( -\sqrt{2} ; -4 ) , ( 0 ; 0 ) , ( \sqrt{2} ; -4 )$ .
Поскольку все корни производной нечётные, то замираний (нестрогой монотонности) тут нет.
При этом, по знакам производной можно указать интервалы роста и убывания функции:
$y'_x < 0$ : : : на интервалах $( -\infty ; -\sqrt{2} )U( 0 ; \sqrt{2} )$ функция убывает.
0 " alt=" y'_x > 0 " align="absmiddle" class="latex-formula"> : : : на интервалах $( -\sqrt{2} ; 0 )U( \sqrt{2} ; +\infty )$ функция растёт.

(III) Область определения и область значений.
$D(f) = R$ – опреледена везде ;
Учитывая, что в минимумах $y( -\sqrt{2} ) = y( \sqrt{2} ) = -4$ , ясно, что область значений функции ограничена этим общим минимумом:
$E(f) = [ -4 ; +\infty )$ – даёт значения не меньше -4 ;

(IV) Асимптоты и точки разрыва.
Точек разрыва нет, а значит нет и вертикальных асимптот.
На обеих бесконечностях производная имеет неограниченное значение, а значит нет и ни горизонтальных, ни наклонных асимптот.

(V) Выпуклость и вогнутость:
$y''_x = 12 x^2 - 8 = 12 ( x^2 - \frac{2}{3} ) = 12 ( x - \sqrt{ \frac{2}{3} } ) ( x + \sqrt{ \frac{2}{3} } )$ ;
Значит вторая производная отрицательна на $x \in ( - \sqrt{ \frac{2}{3} } ; \sqrt{ \frac{2}{3} } )$ , и функция при этом выпукла.
На всём остальном протяжении функция вогнута.

Выпуклость функции продолжается между точками $( -\sqrt{ \frac{2}{3} } ; -2 \frac{2}{9} )$ и $( \sqrt{ \frac{2}{3} } ; -2 \frac{2}{9} )$

2)

При а = –4 уравнение y = –4 имеет 2 корня $x_1=-\sqrt{2}, x_2= \sqrt{2}$ ;
При $a \in ( -4 ; 0 )$ уравнение y=a имеет 4 корня ;
При а = 0 уравнение y=0 имеет 3 корня $x_1 = -2 , x_2 = 0 , x_3 = 2$ ;
При a > 0 уравнение y=a имеет 2 корня ;

gartenzie_zn (8.4k баллов) 13 Апр, 18