Угол между отрезком наклонной и плоскостью всегда находится так. Надо из того конца наклонной, который не лежит в плоскости, провести перпендикуляр на плоскость. Обычно это сделать очень просто.
Примеры
1) A1B1 перпендикулярно плоскости BB1C1C поэтому нужный угол - это угол A1BB1. Ясно, что это 45°;
2) Прямая B1C перпендикулярна BC1 - это диагонали квадрата BB1C1C; при этом BC1 принадлежит плоскости ABC1D1; Для того, чтобы доказать, что B1C перпендикулярна всей плоскости ABC1D1, надо указать в этой плоскости еще одну прямую, которая перпендикулярна B1C; это очень легко, - прямая AB (или параллельная ей D1C1) перпендикулярна всей плоскости BB1C1C, а значит и B1C (это я больше не буду писать так подробно - внимательно прочтите).
Пусть M - точка пересечения B1C и BC1. Искомый угол - это угол MAB1. Треугольник AB1M - прямоугольный (это только что доказано), и B1M = B1C/2 = AB1/2; (катет равен половине гипотенузы), поэтому угол MAB1 = 30°;
3) это та же задача, что и 2), и ответ тот же. Нужный перпендикуляр - это B1D1;
4) Эта задача похожа на 1). Нужный перпендикуляр - это B1A. Для доказательства того, что B1A перпендикулярна плоскости A1BCD1, надо указать в этой плоскости две прямые, которым B1A перпендикулярна. Это - прямые A1B и A1D1 (или BC, все равно). Угол 45°;
6) Здесь все просто - A1B II CD1; то есть A1B параллельна всей заштрихованной плоскости.
5) это единственная нетривиальная задача, странно, что она сюда затесалась. Ясно, что BB1 II DD1, поэтому надо искать угол между BB1 и плоскостью A1C1B
Я много раз доказывал здесь на сайте, что DB1 перпендикулярно плоскости A1C1B (а также - параллельной ей плоскости D1AC). И много раз показывал, что расстояние от точки B1 до плоскости A1C1B равно DB1/3; поэтому синус искомого угла равен √3/3; если есть желание - можете найти это среди тех задач, которые я отметил в своем профиле.
Можно найти это тупо - в правильной пирамиде A1C1BB1 основание - правильный (равносторонний) треугольник, и боковые ребра проектируются на основание на радиус описанной окружности. Если ребро куба 1, то сторона основания этой пирамиды √2; радиус описанной вокруг такого правильного треугольника окружности √2/√3; само собой, это косинус угла наклона. Это тот же самый ответ.