Довжини катерів прямокутного трикутника дорівнюють a і b.Зовні трикутника но його...

Задачка так себе, не слабая....
можно решать и по теореме Птолемея, но будем решать по-другому.
См. рисунок.
сделаем обозначения углов, сторон и диагоналей.
Т.к. угол В и D равны 90, в сумме они дают 180, тогда сумма А и С =180, значит, ABCD можно вписать в окружность.
угол DCA естественно равен 45. и он, как и ABD опирается на одну хорду, значит, угол ABD=45 и тогда DBC=45
теперь, собственно , решение через площади
$c^{2} = a^{2}+ b^{2} \\ S_{ADC}= c^{2}/4 \\ S_{ABC}=ab/2 \\ S_{ABCD}= c^{2}/4+ab/2=( a^{2}+ b^{2})/4+ab/2$
с другой стороны
$S= S_{ABD}+ S_{DBC}=ad*sin(45)/2+bd*sin(45)/2= \frac{d \sqrt{2} }{4}(a+b)$
приравниваем

$\frac{d \sqrt{2} }{4}(a+b)= (a^{2}+ b^{2} )/4+ab/2 \\$

получаем
$d=(a+b) \frac{ \sqrt{2} }{2}$