Пусть функция f(x) определена ** всей числовой прямой. Доказать, что: 1) f(x)+f(-x)-...

Question

Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Доказать, что:
1) f(x)+f(-x)- четная функция
2) f(x)-f(-x)- нечетная функция

Answer 1

1) Пусть g(x) = f(x) + f(-x), тогда
 g(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x) = g(x), следовательно по определению четной функции g(x) четная
2)  Пусть g(x) = f(x) - f(-x), тогда
 g(-x) = f(-x) - f(-(-x)) = f(-x) - f(x) = -(f(x) -f(-x)) = -g(x), следовательно по определению нечетной функции g(x) нечетная