Помогите пожалуйста решить задачу по геометрии\\\\ 1 отрезок FP разбивает треугольник EFM...

0 голосов
83 просмотров

Помогите пожалуйста решить задачу по геометрии\\\\ 1 отрезок FP разбивает треугольник EFM на 2 подобных треугольника.треугольник EFP и PFM при чем угол PFM=60 градусов. S треугольника PFM=30 см в квадрате.Найти площадь треугольника EPM.

Геометрия (26 баллов) | 83 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Если ΔEFP и ΔPFM подобны, то ∠PFM=∠PEF=60°, ∠FMP=∠EFP=\alpha
60+( \alpha+60)+ \alpha =180\\2 \alpha +120=180\\2 \alpha =60\\ \alpha =30^0
Таким образом имеем:исходный ΔEFM и подобные ему ΔEFP и ΔPFM - прямоугольные, а FP - высота Δ-ка EFM равна половине FM, как катет, лежащий против угла в 30°
Обозначим стороны ΔPFM за x, y, 2x, как это показано на рисунке и составляем систему уравнений:
\left \{ {{ \frac{xy}{2} =30} \atop {x^2+y^2=4x^2}} \right.\\\\ \left \{ {{y= \frac{60}{x}} \atop {x^2+y^2=4x^2}} \right.

x^2+( \frac{60}{x})^2=4x^2\\ \\x^2+ \frac{3600}{x^2}=4x^2\\ \\ \frac{3600}{x^2}=3x^2

3x^4=3600\\\\x^4=1200\\\\x= \sqrt[4]{1200}\\\\y=\frac{60}{\sqrt[4]{1200}}

Находим EF, для удобства обозначим за b:

\frac{2x}{b}=\frac{y}{x}\\ \\ \frac{2 \sqrt[4]{1200}}{b}=\frac{60}{\sqrt[4]{1200}\cdot\sqrt[4]{1200}}

b= \frac{2\sqrt[4]{1200}\cdot\sqrt[4]{1200}\cdot\sqrt[4]{1200}}{60}= \frac{2\sqrt[4]{1200}\cdot\sqrt{1200}}{60}= \frac{\sqrt[4]{1200}\cdot\sqrt{1200}}{30}

S_{EFM}= \frac{2x\cdot b}{2}=\frac{2 \sqrt[4]{1200}\cdot\sqrt[4]{1200}\cdot\sqrt{1200}}{2\cdot30}=\frac{\sqrt{1200}\cdot\sqrt{1200}}{30}= \frac{1200}{30}=40\ cm^2

...Ну и как "Лучший ответ" не забудь отметить, ОК?!.. ;)
Похожие задачи