Решу №4
Поскольку точка М лежит на прямой DD₁, она находится в плоскости AA₁D₁D. Значит пересечение плоскости AA₁D₁D и плоскости KMN проходит по прямой MK. Точку пересечения прямой MK с прямой AD обозначим P. Получим прямоугольный треугольник PDM, лежащий в плоскости AA₁D₁D. Проведем через точку К прямую KQ, параллельную PD. Получим еще один треугольник KQM, подобный треугольнику PDM. Поскольку A₁K=KD, KQ=1/2 AD, a DQ=1/2DD₁. Поскольку DD₁=2D₁M, QM=DD₁. Отсюда, в силу подобия треугольников, PD/KQ = DM/QM = 3/2. Но, поскольку KQ=1/2AD, PD=3/2KQ=3/4AD=12.
Повторяем точно такие же рассуждения для плоскости DD₁C₁C, проводя прямую MN и обозначив точку ее пересечения с прямой CD за R. Проведя аналогичные рассуждения, получим DR=3/4DC=9. Получаем в плоскости ABCD прямоугольный треугольник PDR, у которого PD=12, DR=9. Отсюда PR=15, а это и есть искомый отрезок.