В тетрайдере ДАВС точка Р середина АД, точка F принадлежит ребру ДВ, причем F принадлежит ДВ, ДF:FВ=1:3. Постройти сечение тетрайдера с плоскостью проходящую через РF и || АС. Найдите S сечения, если все ребра равны а.
Проведем в плоскости ADC прямую через точку P параллельную прямой AC, полученная прямая пересекает DC в точке М. Тогда PMF - искомое сечение.
Найдем его площадь.
1) Так как DF:FB = 1:3 и DF + FB = DB = a,
то DF = 1/4 * a. PD = 1/2 * AD = 1/2 * a.
Так как в треугольнике ADB AD = DB = AB = a, значит он равносторонний и PDF = 60.
Тогда по теореме косинусов:
PF^2 = (1/2 * a)^2 + (1/4 * a)^2 - 2 * 1/2 * a * 1/4 * a * cos 60
PF^2 = 1/4 * a^2 + 1/16 * a^2 - 1/8 * a^2 = 3/16 * a^2
2) В треугольнике DAC PM || AC и P - середина AD =>
PM - средняя линия, тогда PM = 1/2 * AC = 1/2 * a
и DM = 1/2 * DC = 1/2 * a
3) DM = 1/2 * a, DF = 1/4 * a
Так как в треугольнике CDB CD = DB = CB = a, значит он равносторонний и FDM = 60.
Тогда по теореме косинусов:
FM^2 = (1/2 * a)^2 + (1/4 * a)^2 - 2 * 1/2 * a * 1/4 * a * cos 60
FM^2 = 1/4 * a^2 + 1/16 * a^2 - 1/8 * a^2 = 3/16 * a^2
Значит искомый треугольник PMF равнобедренный
FM = PF = 3^(1/2)/4 * a, DM = 1/2 * a
FH2 - высота треугольника MFP (она же медиана)
Отсюда
MH2 = 1/2 * MP = 1/2 * 1/2 * a = 1/4 * a
Из прямоугольного треугольника FMH2:
(FM)^2 = (FH2)^2 + (MH2)^2
(FH2)^2 = (FM)^2 - (MH2)^2
(FH2)^2 = (3^(1/2)/4 * a)^2 - (1/4 * a)^2 =
= 3/16 * a^2 - 1/16 * a^2 = 1/8 * a^2 => FH2 = 2^(1/2)/4 * a
S MFP = 1/2 * MP * FH2
S MFP = 1/2 * 1/2 * a * 2^(1/2)/4 * a = 2^(1/2)/16 * a^2
Вот так наверное.