ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА !!!!!!!!!!!!!!! ** сторонах AB и AC треугольника ABC , в котором...

Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА !!!!!!!!!!!!!!! На сторонах AB и AC треугольника ABC , в котором AB=BC, взяты точки M и N, соответственно , так , что описанная около
треугольника AMN окружность касается стороны BC в точке P. пусть Q - вторая точка пересечения прямой MP с описанной около треугольника CNP окружностью .Найдите отношение AP\ QM

Answer 1

Ответ. AP/QM=1. 
Решение. Отметим точку P1, которая симметрична точке P относительно серединного перпендикуляра отрезка AC. Тогда из симметрии понятно, что P1 лежит стороне AB, AP=CP1 и ∠PCP1=∠PAB. Из свойства касательной имеем ∠PCP1=∠PAB=∠BPM, то есть PM∥CP1. Известно, что один угол вписанного четырехугольника равен внешнему углу противоположного. Поэтому ∠PQC=∠PNA=∠PMB, то есть P1M∥CQ. Как видим, четырехугольник MQCP1 — параллелограмм. Значит, APQM=APCP1=1.