Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6см и...

Question

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 6см и высота 9 см, боковые ребра равны между собой, и каждое содержит 13 см. Найти высоту этой пирамиды.

Answer 1

Боковые ребра пирамиды равны => проекции боковых ребер на основание равны

ЭТО утверждение верно , если в основании лежит РАВНОСТОРОННИЙ треугольник и вершина проецируется в его ЦЕНТР. Но по условию Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник

В пирамиде ребра b=13 см

В равнобедренном треугольнике 

- высота h= 9 см

- основание/сторона  a=6 м

Боковая грань, которая опирается на сторону ( а) –это равнобедренный треугольник.

Апофема  этой боковой грани по теореме Пифагора   

A^2=b^2-(a/2)^2 =13^2-(6/2)^2=160 ;  A=4 √10 см

Апофема(А)+противоположное ребро(b)+высота основания(h) – образуют

треугольник(Abh) с вершиной , совпадающей с вершиной пирамиды.

В треугольнике(Abh) :

Перпендикуляр из вершины пирамиды  на высоту основания(h)  – это высота

пирамиды (Н).

Угол

По теореме косинусов A^2 = h^2+b^2 -2*h*b*cos

Cos

Тогда  sin

Площадь треугольника(Abh) можно посчитать ДВУМЯ способами

S ∆ = 1/2* H*h

S ∆ = 1/2* b*h*sin

Приравняем правые части

1/2* H*h = 1/2* b*h*sin

H = b*sin

Ответ  12 см

Answer 2

Боковые ребра пирамиды равны => проекции боковых ребер на основание равны => основание высоты пирамиды H = центр описанной окружности радиуса R.
Из равнобедренного треуг.-основания получим: высота основания=9, она же медиана, из прямоугольного треуг (гипотенуза=R, катет=6/2=3, второй катет=9-R) по т.Пифагора

(9-R)^2 + 3*3 = R^2

9*9 - 18R +R^2 + 3*3 - R^2 = 0

18R = 81+9

R = 90/18 = 5

Из прямоугольного треуг. (гипотенуза=боковое ребро=13, катет=Н пирамиды, второй катет=R) по т.Пифагора H^2 = 13*13 - R^2 = 13*13 - 5*5 = (13-5)*(13+5) = 8*18 = 4*2*2*9

H = 4*3 = 12