Всероссийская
олимпиада школьников по математике
Муниципальный
этап
8
КЛАСС
Решения
Очевидно, среди трех данных
чисел нет равных. Поскольку a>b
, a-b>0, откуда (b-c)(c-a)>0. Допустим, c>a.
Тогда c -a >0 и b-c>0, т.е. b>c>a – противоречие с условием.
Ответ: a>c.
Предположим, что Вася прогулял
ровно 64 урока. Заметим, что сентябрь содержит четыре полные недели и еще
2 подряд идущих дня. За одну полную неделю Вася прогулял 1+2+3+4+5=15
уроков, т.е. за четыре недели Вася прогулял ровно 60 уроков, а за два
подряд идущих дня – 4 урока. Но если среди этих двух дней есть выходной,
то оставшийся день – понедельник или пятница, в которые Вася прогуливает 1
или 5 уроков, и в сумме не получается 64 прогула, т.е. не подходит. Если
же оба дня учебные, то Вася должен прогулять нечетное количество уроков(3,
5, 7 или 9), что также не равно 64 при подсчете общей суммы прогулов.
Значит, Вася не мог прогулять ровно 64 урока. Ответ: не могло.
3. Пусть в третьем ряду
сидит x человек. Так как
средний возраст равен сумме возрастов, деленной на количество человек, то после
пересаживания суммарный возраст детей на первом ряду увеличился на 12 недель,
на втором ряду – увеличился на 24 недели, а на третьем ряду - уменьшился на 4x недель.
Поскольку сумма возрастов всех учеников измениться не могла, то 4x=12+24, т.е. x=9. Ответ: 9 человек.
4. Отложим
на продолжении DC за
точку C отрезок CM=CD (см. рис.). Тогда BD=BM (в
треугольнике BDM
медиана совпадает с высотой). Имеем , так что . Значит, ΔABC- равнобедренный с основанием AB, т.е. AM=BM. Значит, BK=BD-KD=BM-KD=AM-KD=AM-AD=DM=2DC,
что и требовалось доказать.
5. Если
рядом с 16 стоит число x, то 16 + 1 ≤
16+x = a2≤ 16 + 15, откуда а2 =
25 и x=9. Поэтому у 16 не может быть более одного соседа, и удовлетворяющее
условию расположение чисел по кругу невозможно. Пример расположения в строку:
16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15,1, 8.