Вычислить:

Пусть $\sqrt{47-4 \sqrt{33} } + \sqrt{47+4 \sqrt{33} } =A$

Возведём правую и левую части в квадрат:
$(\sqrt{47-4 \sqrt{33} } + \sqrt{47+4 \sqrt{33} })^2 =A^2$

$47-4 \sqrt{33} +47+4 \sqrt{33} +2 \sqrt{(47-4 \sqrt{33})(47+4 \sqrt{33})} =A^2$

$94+2*\sqrt{47^2-(4 \sqrt{33)}^2 } =A^2$

$94+2*\sqrt{2209-528} =A^2$

$94+ 2*\sqrt{1681} =A^2$

$94+2*41=A^2$

$A^2=176$

$A=$ ± $\sqrt{176}$

$A=$ ± $4 \sqrt{11}$

Так как арифметический корень из некоторого числа есть число неотрицательное, то и сумма корней - число неотрицательное
Значит $A=4 \sqrt{11}$

$\sqrt{47-4 \sqrt{33} } + \sqrt{47+4 \sqrt{33} } =4 \sqrt{11}$