Пусть C - вершина прямого угла, катет AC равен 20 см, гипотенуза AB равна 25 см.
Второй катет (BC) определяем по теореме Пифагора:
25²-20²=(25-20)(25+20)=5*45=25*9=(5*3)²=15²
Значит, длина второго катета - 15 см.
Обозначим высоту, проведенную из вершины прямого угла, как CH, причем H - точка на гипотенузе AB.
Пусть AH = x (см). Тогда BH = 25-x (см).
У нас получилось 2 прямоугольных треугольника: AHC и BHC, в которых H - вершина прямого угла. В этих треугольниках катеты AC и BC являются гипотенузами, катет CH - общий, а другой катет есть выражение от x.
Значит, используя теорему Пифагора, можно составить следующее равенство: AC²-AH² = BC²-BH². То есть, мы получили уравнение для x:
20²-x²=15²-(25-x)²
20²-x²=15²-(25²-50x+x²)
20²-x²=15²-25²+50x-x² (25²-15²=20²)
20²=-20²+50x
50x=800
x=16
25-x=9
CH² = 20²-16² = (20-16)(20+16) = 4*36 = 144 = 12²
CH=12
Ответ: длины проекций катетов равны 16 см и 9 см, длина высоты - 12 см.