Способ 1
Прилежащие к меньшему основанию углы равны 105°, значит, трапеция - равнобедренная, и вокруг нее можно описать окружность, как вокруг четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180° (свойство).
Пусть центр описанной окружности - О.
Проведем через середины оснований высоту трапеции НК.
Середина ВС- Н, середина АD - К, и точка пересечения диагоналей - М.
Отрезок НК перпендикулярен основаниям, делит их пополам и проходит через центр окружности (свойство радиуса и хорды).
Сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных оснований трапеции секущей АВ равна 180°.
Углы трапеции при основании АD равны 180°-105°=75°
Соединим вершины А и В трапеции с центром О окружности.
Треугольник АОВ - равнобедренный со сторонами, равными R.
Его углы при АВ равны ∠ СВА- ∠СВО=105°-60°=45°.
Следовательно, ∠ ОАК= ∠ВАК-∠ ВАО=75°- 45°=30°
В треугольнике ВОС с равными радиусу боковыми сторонами центральный угол ВОС опирается на ту же дугу, что вписанный угол ВDС, поэтому вдвое больше его (свойство).
∠ВОС=30°•2=60°, отсюда и углы при ВС=60°.
∆ ВОС - равносторонний, ВО=ОС=ВС=R=а.
Высота этого треугольника ОН=а•sin 60°=(а√3)/2
В ∆ ОАК противолежащий углу 30° катет ОК=АО:2=а/2.
Высота трапеции НК=НО+ОК=(а√3)/2+a/2=a•(√3+1):2
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований, т.е. на среднюю линию.
Высота равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна её средней линии.
Поэтому S=[a•(√3+1):2]• [a•(√3+1):2]=а²•(2+√3):2 (ед. площади)
***********************
Способ 2
Поскольку углы при ВС равны, трапеция АВСD- равнобедренная, и углы при АD равны 180°-105°=75°
Диагонали равнобедренной трапеции равны и при пересечении образуют с основаниями равнобедренные треугольники. По условию диагонали взаимно перпендикулярны, ⇒ ∆ ВМС и ∆ AMD - равнобедренные прямоугольные. Углы в этих треугольниках при ВС и AD равны 45°
Площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию.
Высота h равнобедренной трапеции, чьи диагонали взаимно перпендикулярны, равна ее средней линии и равна сумме высот треугольников BMC и AMD.
h=НМ+МК. S=h²
НМ=0,5•BС=а/2 ( по свойству медианы и высоты равнобедренного прямоугольного треугольника)
МC=ВС•sin 45°= (a√2):2
MD=MC•tg60°=(a√2•√3):2
МК=MD•sin45º=[(a√2•√3):2]•√2/2=a√3/2
h=a/2+a√3/2=a•(1+√3)/2
S=[a•(1+√3)/2]²=а²•(2+√3):2 (ед. площади)
