24. AB = CD , AD || BC , (AD+BC)/2 = 3 см , ∠AOD =90° .
-----------
S =S(ABCD) -?
S =(AD+BC)/2 * EF,где EF высота трапеции, проходящей через точки O пересечения диагоналей : E∈[AD] , F∈ [BC] ) .
EF =EO +OF = AE + BF =AD/2+BC/2 = (AD+BC)/2 .
* * * ∠AOD =90° ⇒∠OAD = ∠ODA =45° * * *
Следовательно S=( (AD+BC)/2 )² = (3 см)² = 9 см².
--------------------
25. AD || BC , AN =ND , BK =KC , M∈ [KN ].
-----------
S(AMC) =S(BMC) -?
S(ACM) =S(ABCM) -S(ABC).
S(BCM) = S(DCBM) -S(DCB) .
Но S(ABC) =S(DCB) , ( BC общее и их высота одинаковые), поэтому остается показать S(ABCM) = S(DCBM) .
S(ABKM)=S(ABKN) - S(AMN) =S(DCKN) - S(DMN) =S(DCKN).
S(ABKM) +S(KMC) = S(DCKN) +S(KMB) ;
S(ABCM) = S(DCBM).
Использовали совсем очевидные равенства площадей :
S(ABKN) =S(DCKN) ,S(AMN) = S(DMN) и S(KMC) =S(KMB).
--------------------
26. AD|| BC, AK=DK=15 ,BC=10 ,M =[AC]⋂[BK] ,N =[BD] ⋂[CK].
-----------
MN - ?
ΔBMC подобен ΔKMA :
BM/KM =BC/AK ⇔ (BM+KM)/KM =(BC+AK)/AK.
BK/KM =5/3 (1).
Аналогично из подобия ΔBNC и ΔDNK :
CN/KN =BC/DK ⇔ (CN+KN)/KN =(BC+DK)/DK.
CK/KN =5/3 (2).
Из (1) и (2) заключаем ΔBKC подобен ΔMKN по второму признаку подобия
* * * ∠K_ общее, косвенно доказали MN || BC * * *
Следовательно : BC/MN =BK/KM , 10/MN =5/3⇒ MN =6 .
ответ : MN =6 .
---
Условия трапеция РАВНОБЕДРЕННАЯ лишнее