По свойству параллельных плоскостей отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны, значит параллельные прямые АА1, BB1, CC1 и DD1 равны.
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Значит АА1D1D, AA1B1B, BB1C1C и CC1D1D параллелограммы и АВ=А1В1, CD=C1D1 и BC=B1C1,АD=А1D1, но АВ=CD и АD=ВС как противоположные стороны параллелограмма(дано). Отсюда А1В1=С1D1 и B1C1=A1D1.
Следовательно в четырехугольнике А1В1С1D1 противоположные стороны попарно равны, а по свойству "Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм". Значит А1В1С1D1 - параллелограмм, что и требовалось доказать.