К счастью, погода была тихая (Т. ) - вводное слово к счастью относится ко всему высказыванию. Наше ветхое судно наклонилось, зачерпнулось и торжественно пошло ко дну, к счастью, не на глубоком месте (Т. ) - то же вводное слово относится к части высказывания - к тому, что выражено в последних словах предложения.