Доказать,что

Question 1

Доказать,что

$\int\limits^1_0 {e^{-x^2}} \, dx \geq \frac{1}{2} ,x\in R$

Question 2

Данный интеграл сводится к так называемому ФУНКЦИЙ ОШИБОК
$\int\limits^1_0 { e^{-x^2}} \, dx = \frac{1}{2} * \sqrt{\pi}*erf(x) \\$
Если разложить функцию в ряд Тейлора , она представляет собой
$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}*\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n*x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$
Так как у вас предел $0 \leq x \leq 1$ , то нужно доказать что
$1+ \frac{1}{2!*5}+\frac{1}{4!*9}+ \frac{1}{6!*13 }+\frac{1}{8!*17}+...-\\ - (\frac{1}{3}+\frac{1}{3!*7}+\frac{1}{1!*3}+ \frac{1}{5!*11}...) \geq 0.5 \\$
Так как $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \ \textgreater \ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2!*5} \ \textgreater \ \frac{1}{3!*7} \\ ...$
Так как коэффициент равен $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
То и вся сумма будет больше $\geq \frac{1}{2}$

Question 3

Спасибо

Матов_zn · Answer 1 · 2018-04-09T09:02:07+0000

Данный интеграл сводится к так называемому ФУНКЦИЙ ОШИБОК
$\int\limits^1_0 { e^{-x^2}} \, dx = \frac{1}{2} * \sqrt{\pi}*erf(x) \\$
Если разложить функцию в ряд Тейлора , она представляет собой
$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}*\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n*x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$
Так как у вас предел $0 \leq x \leq 1$ , то нужно доказать что
$1+ \frac{1}{2!*5}+\frac{1}{4!*9}+ \frac{1}{6!*13 }+\frac{1}{8!*17}+...-\\ - (\frac{1}{3}+\frac{1}{3!*7}+\frac{1}{1!*3}+ \frac{1}{5!*11}...) \geq 0.5 \\$
Так как $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \ \textgreater \ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2!*5} \ \textgreater \ \frac{1}{3!*7} \\ ...$
Так как коэффициент равен $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
То и вся сумма будет больше $\geq \frac{1}{2}$