Грамотно и правильно: шприцЕм, потому как на суффиксы ударения ставить не кошерно.)) Вы же не говорите: Принц-ПринОв?! а правильно ударение на корень: ПрИнцев.
Форму: "У них нет шприцОв" - употребляют в проф. сфере, как например в бухгалтерии дОговор или договорА. Однако, лучше не плодить новых правил, а просто знать старые))