Если под "этим краем" подразумевается Обломовка, то думаю, что основным преступлением является лень.
Лень, это отсуствие какого-либо желания чем-то заниматься, предпочитая этому свободное времяпрепровождение. Именно в детстве (а сон повествует о детстве) у Обломова сложилось впечатление, что все в мире решается само собой, что не нужно прикладывать к решению проблемы никаких усилий (его отец постоянно говорил, что надо бы починить скрипучее крыльцо, но дальше обсуждений по этому поводу не доходило). Это привело к его партии и инфальтильности, но не к деградации, т.к. этот персонаж обладает редким качеством самоанализа и сознательно выбрал путь "бездействия", желая "сохранить в себе человека".
Таким образом, я могу предположить, что "преступлением" во сне является безволье и лень Обломовки, которая, как выяснилось, передается по наследству.