В остроугольном треугольнике АВС точки А,С, центр описанной окружности О и центр...

Question

В остроугольном треугольнике АВС точки А,С, центр описанной окружности О и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите что угол АВС равен 60º.

Answer 1

Пусть ∠ABC=x, а ∠IAC+∠ICA=y. Тогда ∠AIC=∠AOC=2x. (т.к. AIC и AOC - вписанные в окружность и т.к. AOC - центральный угол). Сумма углов треугольника ABC равна x+2y=180° (т.к. IA и IC - биссектрисы). Сумма углов треугольника AIC равна y+2x=180°, отсюда x=60°.