В треугольнику АВС медиана АМ в четыре раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 60...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

BM=MC , AB =4AM , ∠MAB =60°.
-------
∠MAC -?

Продолжаем медиана AM на MD = AM. ABDC параллелограмм: ∠MAC=∠DAC=∠ADB.
Из ΔABD по теореме косинусов :
BD² =AB² +AD² -2AB*AD*cos∠DAB || AD =2AM=2x, AB=4AM=4x,∠DAB=∠MAB =60°||;
BD² =(4x)² +(2x)² - 2*4x*2x*cos60° = 20x² - 2*4x*2x*1/2 = 12x².
Следовательно AD²+ BD² =4x²+12x² =16x² =AB².
По обратной теореме Пифагора следует, что треугольник ADB прямоугольный :
∠ADB =90°.
∠MAC =∠ADB = 90°.

ответ: 90°.

oganesbagoyan_zn (181k баллов) 07 Апр, 18

Матов_zn · Answer 1 · 2018-04-07T11:37:48+0000

Положим что $AB=4x \ AM=x \\$ , и по теореме косинусов
$BM=\sqrt{(4x)^2+x^2 - 2*x*4x*cos60а } = x \sqrt{13} \\ \frac{x}{sin\angle ABM } = \frac{ \sqrt{13} x}{ sin60а } \\ sin\angle ABM = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\\$
По теореме косинусов , найдем третью сторону
$AC = \sqrt{(4x)^2 + (2\sqrt{13}x)^2 - 2*4x * (2*\sqrt{13}x) * \sqrt{1-\frac{3}{4*13}}} = \\ AC = \sqrt{ 68x^2-56x^2 } = 2\sqrt{2}x$
$S_{ABC} = \frac{AB*AM * sin60 + AM*AC*sin \ \angle MAC }{2} \\ S_{ABC} = \frac{AB*2BM*sin \angle ABC }{2} \\$
Подставляя найденные значения получим
$\frac{ 4x^2*sin60а+x*\sqrt{12}x * sin \angle MAC}{2} = \frac{4x*2x\sqrt{13}* \frac{\sqrt{3}}{ 2 \sqrt{13}}}{2} \\ 2x^2*\sqrt{3}+x^2\sqrt{12}*sin\angle MAC = 4x^2\sqrt{3} \\ 2\sqrt{3}+\sqrt{12}*sin \angle MAC = 4\sqrt{3} \\ sin \angle MAC = 1 \\ \angle MAC = 90а \\$