Найдите наибольшее натуральное число n, для которого выполнено неравенство 1³ + 2³ + 3³+...

Question

Найдите наибольшее натуральное число n, для которого выполнено неравенство 1³ + 2³ + 3³+ … + n³ < 2016.

Answer 1

1³+2³+3³ +...+n³ < 2016  ; n∈N={1;2;3; ...} .<br>-----------
max(n) -?

Известно: 1³+2³+3³ +...+n³  = (n(n+1)/2)².   * * *  1+2+3 +...+n  = n(n+1)/2 * * *
(n(n+1)/2 ) ² < 2016 ;  
* * *n ≥1 n∈N ⇒ n ≥1.   1936 =44²  < 2016 < 45² = </strong>2025. * * *
44 < n(n+1)/2  <  45 '<br> 88 < n(n+1) < 90 ;<br>n =8.

ответ : n =8.
 
* * *  или   * * *
( n(n+1)/2 )² < 12²*14 ;<br>n(n+1)/2  < 12√14 ;
n(n+1) < 24√14 ;  * * *   24√14 ≈ 89.8 < 90 =9*10   * * *<br>n² +n -24√14 < 0   
1 ≤ n <</strong>( -1+√(1+96√14)/2 ≈ 8,99 ;