(арифмитечесая прогрессия, 9 класс)
1+3+5+...+(2n-1)= єто cумма членов арифмитической прогрессии с первым членом 1, разностью членов d=2 и последним членом 2n-1

иначе("вручную")
S=1+3+5+...+(2n-1)
S=(2n-1)+...+5+3+1
складываем первый с последним, второй с предпоследним, и т..д.
2S=(1+(2n-1))+(3+(2n-3))+...=n скобок(сумм), каждая сумма равна 2n=n*2n=2n^2;
S=n^2;