Найдите ctg (x-y) если cosx*siny=2/3 sinx*cosy=(-1/3)

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу, распишем знаменатель по формуле синуса разности и подставим известные значения:
$\mathrm{ctg}(x-y)= \cfrac{\cos(x-y)}{\sin(x-y)} =\cfrac{\cos(x-y)}{\sin x\cos y-\cos x \sin y} = \cfrac{\cos(x-y)}{- \frac{1}{3} - \frac{2}{3} } = \\\ =\cfrac{\cos(x-y)}{- 1 } =-\cos(x-y)$

Значит, $\mathrm{ctg}(x-y)=-\cos(x-y)$ , то есть котангенс и косинус одного и того же аргумента - противоположные числа. Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим на множители:
$\frac{\cos(x-y)}{\sin(x-y)}+\cos(x-y)=0 \\\ \cos(x-y)\cdot(\frac{1}{\sin(x-y)}+1)=0$

1) Если $\cos(x-y)=0$ , то $\mathrm{ctg}(x-y)=-\cos(x-y)=0$
2) Если $\frac{1}{\sin(x-y)}+1=0$ , то $\sin(x-y)=-1$ , но синус достигает значение равное -1 при нулевом косинусе, значит как и в предыдущем случае $\cos(x-y)=0\Rightarrow\mathrm{ctg}(x-y)=0$

Ответ: 0