Желательно с объяснением. Буду благодарна.

Квадратное уравнение имеет один корень только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Найдём дискриминант и приравняем его к нулю.
$x^2+2mx-(m-2)=0\\D=(2m)^2-4*1*(-(m-2))=4m^2+4m-8\\4m^2+4m-8=0\ \ \ \ |(:4)\\m^2+m-2=0\\D=1+8=9\\m_1=\frac{-1+\sqrt{9}}{2}=\frac{-1+3}{2}=1\\m_2=\frac{-1-3}{2}=-2$
Когда m рано 1 или -2, у нашего исходного квадратного уравнения будет один корень. Наибольшее m=1.