Почему по-домашнему пишется через е
Потому что надо задать вопрос. В данном случае здесь вопрос: по какому?- по-домашнему раз вопрос оканчивается на ому,то пишем е(ом,ем)
На мой взгляд, это проверить нельзя, потому что это окончание.