В остроугольном треугольнике провели все высоты, медианы и биссектрисы (Никакие два...

Question

В остроугольном треугольнике провели все высоты, медианы и биссектрисы (Никакие два отрезка не совпали). Сколько точек пересечения образовалось? (Можно и нужно воспользоваться тем, что биссектрисы, медианы и высоты треугольника пересекаются в одной точке. Также считается, что никакие другие отрезки случайно в одной точке не пересекутся.)

Answer 1

Каждая высота пересекает 2 медианы и 2 биссектрисы - 4 точки.
Это 4*3 = 12 точек.
Каждая медиана пересекает 2 биссектрисы (высоты уже посчитали).
Это еще 3*2 = 6 точек.
Кроме того, еще 3 точки, в которых пересекаются высоты между собой,
медианы между собой и биссектрисы между собой.
Всего 12 + 6 + 3 = 21 точка.

Comments

Заметим, что любые два отрезка, проведенные из разных вершин треугольника, пересекаются. Тогда всего бы получилось 3⋅3+3⋅3+3⋅3=27 точек пересечения, но три биссектрисы, три высоты и три медианы пересеклись в одной точке. Это значит, что три тройки точек - на самом деле одна точка, то есть ответ надо уменьшить на 6. Тем самым ответ 27−6=21.